Exercices sur Les suites numériques 2bac fr

Ces exercices sont pour 2bac science expérimentales 2bac biof -2bac pc et 2bac
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Exercice 01: \(u_0=7 \;et \; u_{n+1}=\frac{3}{4}u_n +\frac{5}{4}\)
On considère la suite numérique \((u_n )\) définie par :
\(u_0=7 \;et \; u_{n+1}=\frac{3}{4}u_n +\frac{5}{4}\) pour tout
entier naturel \(n\)
-
a) Montrer par récurrence que \(u_n>5\) pour tout entier
naturel \(n\)
b) Vérifier que \(u_{n+1}-u_n=\frac{-1}{4}(u_n-5)\) pour tout entier naturel \(n\) puis montrer que la suite \((u_n )\) est décroissante.
c) En déduire que la suite \((u_n )\) est convergente. -
Soit \((v_n )\) la suite numérique telle que :
\(v_n=u_n-5\) pour tout entier naturel \(n\)
a) Montrer que \((v_n )\) est une suite géométrique de raison \(\frac{3}{4}\) puis écrire \((v_n )\) en fonction de \(n\)
b)Montrer que \( u_n = 5+2{(\frac{3}{4})}^n \) pour tout entier naturel \(n\), puis déterminer la limite de la suite \(n\)
c)Déduire la limite de la suite (w_n ) définie par: \( w_n = ln(u_n-4) \) pour tout entier naturel \(n\) - Déterminer la plus petite valeur de l’entier naturel \(n\) pour laquelle \(u_n<5,001\)
Exercice 02: \(u_0=2\; et \; u_{n+1}=\frac{8u_n+3}{u_n+6} \)
On considère la suite numérique \(u_n \) définie par :
\(u_0=2\) et \( u_{n+1}=\frac{8u_n+3}{u_n+6} \)
pour tout \( n \in \mathbb{N}\)
-
a) Montrer par récurrence que \( 1<u_n<3 \) pour tout \( n \in
\mathbb{N}\)
b) Vérifier que \(u_{n+1}-u_n=\frac{(1+u_n )(3-u_n )}{6+u_n }\) pour tout \( n \in \mathbb{N}\), puis montrer que la suite \(u_n \) est croissante
c) En déduire que la suite \(u_n \) est convergente. -
Soit \(v_n \)la suite numérique telle que : \(
v_n=\frac{ u_n -3 }{ u_n +1} \) pour tout \( n \in \mathbb{N}\)
a) Montrer que \(v_n \) est une suite géométrique de raison \(\frac{5}{9}\) puis écrire \(v_n \) en fonction de \( n\)
b) Montrer que \( u_n = \frac{3-\frac{1}{3}(\frac{5}{9})^n}{3+\frac{1}{3}(\frac{5}{9})^n}\) pour tout n de IN , puis déterminer la limite de la suite \(u_n\)
c) Déduire la limite de la suite {w_n } définie par: \( w_n = (u_n-2)e^{u_n } \) pour tout n de IN -
a) Montrer que \( 3-u_{n+1} < \frac{5}{7}(3-u_n) \) pour tout \( n
\in \mathbb{N}\)
b) En déduire que \( 0 < 3-u_n < {(\frac{5}{7})}^{n}\) pour tout \(n\) de \(\mathbb{N} \)
c) Retrouver la limite de la suite \(u_n \)
Exercice 03: EXERCICE DE SYNTHÈSE \(partie 1: \;f(x) = x ln( x+1)\;partie 2:\; \(u_{n+1} = u_n ln( u_n+1) \) \)
On considère la fonction numérique f définie sur \( [0,+∞[ \) par : \( f(x) = x ln( x+1)\)Partie I :
Déterminer \(f'(x)\) , pour tout \(x\) de \( [0,+∞[ \) puis déduire que f est croissante sur \( [0,+∞[ \)
Étudier la continuité de f sur \( [0,+∞[ \)
Déterminer \( f([0,e-1]) \)
Montrer que f(x)≤x, pour tout x de \( [0,+∞[ \)
Partie II :
Soit \(u_n \) la suite numérique définie par : \( u_0=1 \) et \(u_{n+1} = u_n ln( u_n+1) \) pour tout n de IN
Montrer par récurrence que \( 0 ≤ u_n ≤ e-1 \) pour tout \( n \in \mathbb{N}\)
Montrer que la suite \(u_n \) est décroissante et en déduire qu’elle est convergente.
Déterminer la limite de la suite \(u_n \)
Question :
On considère la suite \(u_n \) définie par : \( u_n = \frac{7^n+3^n}{7^n-3^n } \) pour tout entier naturel \(n\)
Déterminer la limite de la suite \(u_n \)
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