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Exercices sur Les suites numériques 2bac fr maroc

Exercices sur Les suites numériques 2bac fr

Ces exercices sont pour 2bac science expérimentales 2bac biof -2bac pc et 2bac svt

Exercice 01: \(u_0=7 \;et \; u_{n+1}=\frac{3}{4}u_n +\frac{5}{4}\)


On considère la suite numérique \((u_n )\) définie par :
\(u_0=7   \;et \; u_{n+1}=\frac{3}{4}u_n +\frac{5}{4}\) pour tout entier naturel \(n\)
  1. a) Montrer par récurrence que  \(u_n>5\) pour tout entier naturel  \(n\)
    b)  Vérifier que \(u_{n+1}-u_n=\frac{-1}{4}(u_n-5)\)  pour tout entier naturel \(n\)  puis montrer que la suite  \((u_n )\) est décroissante.

    c) En déduire que la suite  \((u_n )\) est convergente.
  2. Soit \((v_n )\) la suite numérique telle que :      \(v_n=u_n-5\) pour tout entier naturel \(n\)
    a) Montrer que \((v_n )\)  est une suite géométrique de raison \(\frac{3}{4}\) puis écrire \((v_n )\) en fonction de \(n\) 
    b)Montrer que \( u_n = 5+2{(\frac{3}{4})}^n \) pour tout entier naturel \(n\), puis déterminer la limite de la suite \(n\) 
    c)Déduire la limite de la suite (w_n ) définie par: \( w_n = ln⁡(u_n-4) \) pour tout entier naturel  \(n\)
  3. Déterminer la plus petite valeur de l’entier naturel \(n\) pour laquelle \(u_n<5,001\)

Exercice 02:  \(u_0=2\; et  \; u_{n+1}=\frac{8u_n+3}{u_n+6} \)

On considère la suite numérique \(u_n \) définie par :
   \(u_0=2\) et  \( u_{n+1}=\frac{8u_n+3}{u_n+6} \)  pour tout \( n \in \mathbb{N}\)
  1. a) Montrer par récurrence que \( 1<u_n<3 \) pour tout \( n \in \mathbb{N}\)   
    b) Vérifier que \(u_{n+1}-u_n=\frac{(1+u_n )(3-u_n )}{6+u_n }\)  pour tout  \( n \in \mathbb{N}\), puis montrer que la suite  \(u_n \) est croissante 
    c) En déduire que la suite  \(u_n \) est convergente.
  2. Soit \(v_n \)la suite numérique telle que :     \( v_n=\frac{ u_n -3 }{ u_n +1} \) pour tout  \( n \in \mathbb{N}\)
    a) Montrer que \(v_n \) est une suite géométrique de raison \(\frac{5}{9}\) puis écrire \(v_n \) en fonction de \( n\)
    b) Montrer que \( u_n = \frac{3-\frac{1}{3}(\frac{5}{9})^n}{3+\frac{1}{3}(\frac{5}{9})^n}\) pour tout n de  IN , puis déterminer la limite de la suite \(u_n\)
    c) Déduire la limite de la suite {w_n } définie par:  \(  w_n = (u_n-2)e^{u_n } \) pour tout n de  IN
  3. a) Montrer que \( 3-u_{n+1} < \frac{5}{7}(3-u_n) \) pour tout \( n \in \mathbb{N}\)  
    b) En déduire que  \( 0 < 3-u_n < {(\frac{5}{7})}^{n}\) pour tout \(n\)  de  \(\mathbb{N} \) 
    c)  Retrouver la limite de la suite \(u_n \)

Exercice 03: EXERCICE DE SYNTHÈSE  \(partie 1: \;f(x) = x ln⁡( x+1)\;partie 2: \; \(u_{n+1} = u_n ln⁡( u_n+1)  \) \)

On considère la fonction numérique f définie sur \( [0,+∞[  \) par :  \( f(x) = x ln⁡( x+1)\)
Partie I :
Déterminer \(f'(x)\) , pour tout  \(x\) de \( [0,+∞[  \) puis déduire que f est croissante sur \( [0,+∞[  \)
Étudier la continuité de f sur \( [0,+∞[  \)
Déterminer \( f([0,e-1]) \)
Montrer que f(x)≤x, pour tout x de  \( [0,+∞[  \)
Partie II :
Soit \(u_n \) la suite numérique définie par :  \( u_0=1 \)   et  \(u_{n+1} = u_n ln⁡( u_n+1)  \) pour tout n de IN
Montrer par récurrence que \( 0 ≤ u_n ≤ e-1 \)  pour tout   \( n \in \mathbb{N}\)
Montrer que la suite \(u_n \) est décroissante et en déduire qu’elle est convergente.
Déterminer la limite de la suite \(u_n \)
Question :
On considère la suite \(u_n \) définie par : \(  u_n = \frac{7^n+3^n}{7^n-3^n }  \) pour tout entier naturel \(n\)
Déterminer la limite de la suite \(u_n \)


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